Řady

Tónové řady (serie) jsou základem dodekafonie i serialismu. Řady jsou vytvořeny tak, aby obsahovaly všechny tóny stupnice, každý právě jednou. Dvanáctitónové řady jsou tedy tvořeny uspořádáním všech dvanácti temperovaných chromatických tónů oktávy.

Pro snazší orientaci lze tónové výšky chromatické stupnice označit čísly. Výchozí tón je označen 0, následující 1, atd. Tedy např. pro dvanáctitónovou stupnici začínající tónem c je označení následující:
c = 0, c# = 1, d = 2, d# = 3, e = 4, f = 5, f# = 6, g = 7, g# = 8, a = 9, a# = 10, h = 11.
Řada (c c# d# d g a# g# e h f a f#) může být zapsána jako (0 1 3 2 7 10 8 4 11 5 9 6).
Obdobně lze čísly označit též intervaly mezi sousedními tóny řady. Chromatický půltón (stoupající) je označen 1, celý tón (složený ze dvou půltónů) 2, atd. až po 11. Klesající intervaly (záporná čísla) jsou nahrazeny svými doplňky.
Tedy řada (c c# d# d g a# g# e h f a f#) je tvořena intervaly [1 2 11 5 3 10 8 7 6 4 9]. 1-0=1; 3-1=2; 2-3=-1, 12-1=11; 7-2=5; 10-7=3; 8-10=-2, 12-2=10; 4-8=-4, 12-4=8; 11-4=7; 5-11=-6, 12-6=6; 9-5=4; 6-9=-3, 12-3=9.

Tónová řada může být produktem skladatelovy invence nebo může být připravena na základě racionální úvahy s cílem dosáhnout požadované vnitřní struktury. Může se jednat o dosažení nebo vyloučení různých druhů symetrie, periodicity nebo analogie ve vnitřním uspořádání, o vyvážený počet, preferenci nebo vyloučení některých intervalů apod. Podle vnitřního uspořádání lze řady rozdělit do mnoha skupin. Tonální řady obsahují skupiny tónů, tvořící rozložené akordy nebo fragmenty stupnic. Atonální řady jsou tvořeny tak, aby potlačovaly pocit tonality. Odvozené řady vznikají ze segmentů vázaných transformacemi. Celou řadu lze odvodit z jejích prvních několika členů. Symetrické řady jsou složeny ze dvou polovin vázaných transformacemi. V případě dvanáctitónových řad je druhý hexachord transformací prvního. Všeintervalové řady obsahují nejen všechny tóny stupnice, ale též všechny intervaly.

Lze vytvořit 479001600 různých dodekafonických řad. Pokud řady se shodným intervalovým uspořádáním, začínající na různých tónech pokládáme za ekvivalentní, existuje 479001600 / 12 = 39916800 neekvivalentních řad. Všeintervalových dodekafonických řad, začínajících na shodném tónu lze sestrojit jen 3856. Celkový počet všeintervalových řad je 3856 * 12 = 46272. Řady lze vytvářet i v jiných soustavách než je dvanáctitónová temperovaná chromatika. Každá permutace výchozí stupnice je řadou. Počet všech možných řad v n-tónové soustavě je tedy roven počtu permutací n prvků, t.j. n! (n faktoriál = 1*2*3...*n). Počet všech řad, začínajících vybraným tónem, je roven n-1!.

Počty všech možných řad (n!), všech řad, začínajících vybraným tónem (n-1!), všech všeintervalových řad (All-int) a všeintervalových řad, začínajících vybraným tónem (All-int-1) v n-tónových soustavách pro n = 2...17 shrnuje následující tabulka.

n	All (n!)	All on spec. note (n-1!)	All-int	All-int on spec. note
2	2	1	2	1
3	6	2	0	0
4	24	6	8	2
5	120	24	0	0
6	720	120	24	4
7	5040	720	0	0
8	40320	5040	192	24
9	362880	40320	0	0
10	3628800	362880	2880	288
11	39916800	3628800	0	0
12	479001600	39916800	46272	3856
13	6227020800	479001600	0	0
14	87178291200	6227020800	1250592	89328
15	1307674368000	87178291200	0	0
16	20922789888000	1307674368000	44095488	2755968
17	355687428096000	20922789888000	0	0

Jak je zřejmé z tabulky, lze všeintervalové řady vytvořit jen v soustavách se sudým počtem tónů. Důvod je následující. Pro soustavy složené z n tónů je součet intervalů ve všeintervalové řadě
SumI = 1+2+...+n = n*(n+1)/2,
tedy
SumI mod n = n/2, pro sudá n
a
SumI mod n = 0, pro lichá n.
Tedy pokud řada s lichým počtem tónů obsahuje všechny intervaly, je její poslední člen shodný se členem prvním a řada tedy nemůže současně obsahovat všechny tóny.

Z uvedených vztahů je dále zřejmé, že interval mezi prvním a posledním členem všech všeintervalových řad téže soustavy je stejný. Např. všechny dvanáctitónové všeintervalové řady od tónu c končí tónem f#, interval mezi prvním a dvanáctým tónem je vždy šest temperovaných půltónů (tritonus).

Pokud je řada použita v kompozici, vzniká při jejím opakování interval mezi posledním tónem jedné řady a prvním tónem řady následující. Pokud nejsou po sobě jdoucí řady transponovány tak, aby poslední tón jedné řady byl shodný s prvním tónem následující řady je tedy jeden z intervalů zdvojen. Stejnou vlastnost mohou mít i řady, které mají nejvýše jeden interval zdvojený a jeden chybějící. Chybějící interval lze použít jako interval mezi řadami. Tyto "téměř-všeintervalové" ("všeminusjednaintervalové") řady lze vytvořit i pro stupnice s lichým počtem tónů.

Pro generování řad lze použít program Series.

Transformace (základní operace)

Základní forma (Prime - P): originální řada, čtená zleva doprava, např. tóny (0 1 3 2 7 10 8 4 11 5 9 6), intervaly [1 2 11 5 3 10 8 7 6 4 9].
Inverze (Inverse - I): "směry" všech intervalů jsou obráceny, intervaly jsou nahrazeny svými doplňky (obraty). Stoupající (vrchní) intervaly jsou nahrazeny klesajícími (spodními) intervaly stejné velikosti a naopak, např. (0 11 9 10 5 2 4 8 1 7 3 6), [11 10 1 7 9 2 4 5 6 8 3].
Račí forma (Retrograde - R): originální řada čtená pozpátku (zprava doleva). Tím dojde k obrácení "směrů" všech intervalů i jejich pořadí, např. (6 9 5 11 4 8 10 7 2 3 1 0), [3 8 6 5 4 2 9 7 1 10 11].
Inverzní račí forma (Inverse-Retrograde - IR): "směry" všech intervalů jsou obráceny a invertovaná řada je čtena pozpátku. Původní intervaly tedy zůstávají zachovány, obrací se pouze jejich pořadí, např. (6 3 7 1 8 4 2 5 10 9 11 0), [9 4 6 7 8 10 3 5 11 2 1].
Transpozice (T): všechny tóny řady jsou transponovány o stejný interval. Intervalová struktura řady se nemění, např. (2 3 5 4 9 0 10 6 1 7 11 8), [1 2 11 5 3 10 8 7 6 4 9].
Násobení (Multiplication - M): všechny tónové výšky řady jsou násobeny číslem m, které je nesoudělné s počtem tónů stupnice n. Např. pro m=5: (0 5 3 10 11 2 4 8 7 1 9 6), [5 10 7 1 3 2 4 11 6 8 9].

Čtveřice variant P, I, R, IR je nazývána kvaternion (quaternion).

Kombinací transformací P, I, R, IR a T může vzniknout až 4n forem jedné řady (n transpozic čtyř variant). Různé druhy symetrií uvnitř řad mohou počet odvoditelných forem zredukovat např. na 1/2, 1/3, 1/4 apod.